发现数学形状的隐藏联系：拓扑学中的流形和规则之谜！

大家好，我是科学羊🐏。

今天是周末，我们继续聊脑洞，脑洞其实就是一个让我们增长见识与智慧的栏目，我将会在每个周末与你同在，并与你一起探索天文科学身边有趣的故事。

今天我们看一个思维脑洞——在拓扑学中，如何判断两个形状是否相同。

01 关于分类

话说，人们都喜欢对事物进行分类！

按照现代极简生活的方式，人们总是会把事物分类进行分类，比如足球是一项运动，而养生不是。

其实，数学家也喜欢分类。

因为，数学家和其他人一样理解这一点。毫不夸张地说，他们的主要业务就是分类，这种冲动至少可以追溯到古希腊。你看，几何分类、代数分类、几何下面也有不少相似的分类。

比如，古希腊人认为，尽管可能存在着无穷无尽的具有相同面的固体物体(所谓的“正多面体”) ，但真正只有五种:四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体，如下图。

柏拉图立体(或正多面体)包括(从左起) : 十二面体，二十面体，立方体，八面体和四面体，图片来源:Quanta Magazine

当然，你也可以理解对一堆图形分类是孩子们的事，圆形就应该放在圆形里，正方形就应该在正方形里面。

但是，你可能忽略了一个重要的分类，那些四不像怎么分呢？

专业点说，其实我说的是拓扑学。事实上，数学中最大的分支学科之一ーー拓扑学ーー正是致力于这方面的研究，经过几个世纪的共同努力，数学家们甚至还没有接近完成这项工作。

拓扑学家研究一般形状的性质，称为流形。他们的目标是分类他们。在这方面，有几个关键的区别。流形到底是什么，当我们比较它们时，我们脑海中有什么相同的概念？

02 关于拓扑学中的流形

什么是流形？

这是个数学概念，在数学中，流形（manifold）是可以“局部欧几里得空间化”的一个拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近“局部类似于欧氏空间”。

更精确地说，n维流形（n-manifold），简称n流形，是一个拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域，该邻域同胚于n维欧氏空间的一个开集。

可以通俗地理解为一个可以在小的范围内看起来像平面的空间。想象一下，无论我们站在地球的哪个地方，周围的一小块区域都看起来是平的，就像一个小平面。

图片由AI生成

但如果我们从更大的视角来看，地球其实是一个三维的球体。这种在小范围内看似平面，但在大范围内可能是弯曲或具有更复杂形状的性质，就是流形的特点。

流形可以有不同的维度。比如一条线是一维流形，一个平面是二维流形，而我们生活的空间是三维流形。流形的概念让数学家们能够研究各种复杂的形状，包括我们无法直观感知的高维空间。

那么什么又是“局部欧几里得空间化”？

想象一个形状或空间，在它的每一个小部分（局部），都看起来像是我们熟知的平直的欧几里得空间，就像是常见的直线、平面或者我们日常生活中的三维空间。

但当你观察这个形状或空间的整体时，它可能会呈现出完全不同的、甚至是弯曲或扭曲的形态。

简单来说，就是在小的范围内看起来很“正常”和“平直”，但在大的范围内可能非常复杂和不同寻常，这正是流形的一个关键特性。

欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。

局部欧几里得空间化是欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理在几何原本中都有所体现。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。

回到流形，其实球面就是一个二维的流形。由于它能它能够由一群二维的图形表示，如图，我们的地球🌏亦是如此！

流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。

欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。

物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例,位形空间中也可以定义流形,环面就是双摆的位形空间。

一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形会保持拓扑结构不变，而把解析几何结构看作是“硬质”的，因为整体的结构都是固定的。

当然，流形有很多种。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧几里得空间。其他的种类包含了它们在使用中所需要的额外的结构。

例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。

总之，流形可以是任何维度的形状，从零维的点到一维的线到二维的表面(像一个球的表面)到100维的空间(甚至更远) ，这些空间很难想象，但在数学上却和其他任何东西一样真实，也许现实不存在，而在数学上存在！

数学家研究它们，除了其他原因外，还因为三维和四维流形提供了我们生活的环境。

所有流形的共同点是某种一般的平坦性。如果你发现自己在一个多方面的表面，空间将出现平坦的所有你周围。事实上，这就是我们在地球上的经历。从它的表面ーー这是一个二维流形。

一般来说，流形的整体特征ーー例如它是否像球体一样弯曲，或者是否包含像甜甜圈一样的洞ーー不能从地面的视角来确定。

最复杂的类型是“光滑”流形。它具有拓扑流形的所有特征ーー平坦、连续ーー但它还有更多的东西。用手指在上面划过，道路总是很平坦，你永远不会像在拓扑流形上那样碰到一个突然的拐角。

这种一致的平滑有很大的影响。它允许你关联一个唯一的切平面上的光滑流形的每一个点，这意味着你可以执行光滑流形微积分。

03 如何判断两个流形是否相同？

现在，让我们来探讨一个关键问题：如何判断两个流形是否相同？

在拓扑学中，最基本的判断标准是同伦等价。如果我们能够通过拉伸和压缩一个形状变成另一个形状而不撕裂它，那么这两个形状就被认为是同伦等价的。

例如，一个球体可以被压缩成一个点，但由于甜甜圈中心的洞无法消除，所以它不与点同伦等价。

图片来源:Quanta Magazine

拓扑学的美妙之处在于它的精细分类，对不同类型的流形，有更复杂的相同性标准。

对拓扑流形来说，判断标准是同胚，需要维持点与点之间的距离关系。

而对光滑流形来说，判断标准是微分同胚，这不仅需要保持距离关系，还需要维持流形的光滑结构。

图片来源:Quanta Magazine

再来谈谈迈克尔·弗里德曼的贡献。他在1981年证明了四维庞加莱猜想，这是拓扑学中的一个里程碑。

但他的证明并没有解决四维光滑流形的问题，这是数学家们一直在努力探索的领域。

这表明，在识别和分类四维光滑流形方面，拓扑学仍有很长的路要走。

拓扑学不只是数学的一部分，它是我们理解世界的一种方式。

它揭示了看似不同形状之间的深层联系，展示了数学的美丽和力量。

让我们继续关注这个领域的最新发展，一起探索数学的无限可能！

好，今天就先这样，这个话题我们未来还会聊！

Masir 2023/12/03

祝幸福~

参考文献

[1]. In Topology, When Are Two Shapes the Same?

[2]. Why Mathematicians Like to Classify Things

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